【题目】设a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数f(x)=x2﹣(1+a)x+a在D内的零点.
【答案】
(1)解:对于方程2x2﹣3(1+a)x+6a=0
判别式△=3(a﹣3)(3a﹣1)
因为a<1,所以a﹣3<0
①当1 时,△<0,此时B=R,所以D=A;
②当a= 时,△=0,此时B={x|x≠1},所以D=(0,1)∪(1,+∞);
当a< 时,△>0,设方程2x2﹣3(1+a)x+6a=0的两根为x1,x2,且x1<x2,则
③当0 时,x1+x2=
(1+a)>0,x1x2=3a>0,所以x1>0,x2>0
此时,D=(0,x1)∪(x2,+∞);
④当a≤0时,x1x2=3a≤0,所以x1≤0,x2>0.
此时,D=(x2,+∞).
(2)解:f(x)=(x﹣1)(x﹣a),a<1,
①当1 时,函数f(x)的零点为1与a;
②当a= 时,函数f(x)的零点为
;
③当0 时,因为2×12﹣3(1+a)+6a<0,2×a2﹣3(1+a)a+6a>0,所以函数f(x)零点为a;
④a≤0,因为2×12﹣3(1+a)+6a<0,2×a2﹣3(1+a)a+6a<0,所以函数f(x)无零点
【解析】(1)对于方程2x2﹣3(1+a)x+6a=0,判别式△=3(a﹣3)(3a﹣1)因为a<1,所以a﹣3<0,分类讨论求出B,即可求集合D(用区间表示);(2)f(x)=(x﹣1)(x﹣a),a<1,分类讨论求函数f(x)=x2﹣(1+a)x+a在D内的零点.
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【题目】已知以点C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O.
(1)设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,设B(0,2),且P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标.
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【题目】已知f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当x∈[﹣1,0]时,函数解析式f(x)= ﹣
(a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣b(ω>0,0<φ<π)的图象两对称轴之间的距离是 ,若将f(x)的图象先向由平移
个单位,再向上平移
个单位,所得函数g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递减区间和对称中心.
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【题目】一河南旅游团到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果类较有名气的有:怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种,点心类较有名气的有:一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种,小吃类较有名气的有:符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种.该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝.
(1)求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数;
(2)若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2种特产均为小吃的概率.
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【题目】设数列{an}的前n项为Sn , 点(n, ),(n∈N*)均在函数y=3x﹣2的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn= ,Tn为数列{bn}的前n项和,求使得Tn<
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
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