Question

【题目】设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D内的零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0

判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1）

因为a＜1，所以a﹣3＜0

①当1 时，△＜0，此时B=R，所以D=A；

②当a= 时，△=0，此时B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；

当a＜ 时，△＞0，设方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则

③当0 时，x1+x2= （1+a）＞0，x1x2=3a＞0，所以x1＞0，x2＞0

此时，D=（0，x1）∪（x2，+∞）；

④当a≤0时，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2＞0．

此时，D=（x2，+∞）．

（2）解：f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，

①当1 时，函数f（x）的零点为1与a；

②当a= 时，函数f（x）的零点为 ；

③当0 时，因为2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＞0，所以函数f（x）零点为a；

④a≤0，因为2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＜0，所以函数f（x）无零点

【解析】（1）对于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0，判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1）因为a＜1，所以a﹣3＜0，分类讨论求出B，即可求集合D（用区间表示）；（2）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，分类讨论求函数f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D内的零点．