Question

已知函数f(x)=x2+

k

x

（x≠0，常数k∈R）．
（1）判断函数f（x） 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若k=8，证明：当a＞3 时，关于x 的方程f（x）=f（a） 有三个实数解．

Answer 1

（1）当k=0 时，f（x） 是偶函数；
当k≠0 时，f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数． 
证明：①当k=0 时，f（x）=x² （x≠0 ），
∴f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x） 是偶函数；         
②当k≠0 时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）；                 
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）．                   
∴f（x） 
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由f（x）=f（a） 得，x2+

8

x

=a2+

8

a

，
化简整理得，(x-a)(x+a-

8

ax

)=0，
由x-a=0 得，方程的一个解x₁=a；          
由x+a-

8

ax

=0 得，ax²+a²x-8=0，①
∵a＞3 
，∴△=a⁴+32a＞0，
解①得  x2=

-a2- a4+32a

2a

，x3=

-a2+ a4+32a

2a

，
∵x₂＜0，x₃＞0，∴x₂＜x₃，
又x₁＞0，∴x₁＞x₂．                                
若x₁=x₃，即a=

-a2+ a4+32a

2a

，
则3a2=

a4+32a

，
∴a⁴=4a，解得a=0 或a=

3	4

，与a＞3 矛盾，∴x₁≠x₃ 
故原方程有三个实数解．