Question

【题目】设数列{an}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1 ， 第二层两个数a2和a3 ， 第三层三个数a4 ， a5和a6 ， 以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3 ， a2=a4+a5 ， a3=a5+a6 ， …．

（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

Answer 1

【答案】
（1）解：若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；

若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；

若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法

（2）解：根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，

则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，

若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，

a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，

即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，

则第十一层十一个数共有 =144种不同取法

【解析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10 ， 由a1为奇数，可得a7 ， a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56 ， a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．
【考点精析】通过灵活运用归纳推理，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理即可以解答此题．