Question

有一个3×3×3的正方体，它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成27个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个．
（Ⅰ）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到只有一个面涂有颜色的小正方体的次数为η．求η的数学期望．

Answer 1

解：（I）由题意可得：ξ可能取的值为：0，1，2，3，
则有P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

所以ξ的数学期望Eξ=．
（II）根据题意可得：离散型随机变量η服从二项分布，即η～B（6，），
所以根据公式Eη=np=6×=．
分析：（I）由题意可得：ξ可能取的值为：0，1，2，3，再结合题意分布求出其发生的概率，进而求出ξ的数学期望．
（II）根据题意可得：离散型随机变量η服从二项分布，再根据公式Eη=np可得答案．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望，以及二项分布的数学期望的计算公式，此题属于基础题．