【题目】如图, 为坐标原点,双曲线
和椭圆
均过点
,且以
的两个顶点和
的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得
与
交于
两点,与
只有一个公共点,且
?证明你的结论.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得的两个顶点和
的两个焦点的坐标,求的
的值,再结合点
在双曲线上,代入双曲线结合
之间的关系即可求的
的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点
在椭圆上,利用椭圆的定义
即为
到两焦点的距离之和,求出距离即可得到
的值,利用
之间的关系即可求出
的值,得到椭圆的标准方程.
(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线
与
只有一个公共点,即直线经过
的顶点,得到直线
的方程,代入双曲线求的
点的坐标验证是否符合等式
,当直线
的斜率存在时,直线
的方程为
,联立直线
与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于
两点横纵坐标之和的表达式,利用
出
,再立直线
与椭圆的方程
即可得到
直线的关系,可得到内积
不可能等于0,进而得到
,即
,即不存在这样的直线.
的焦距为,由题可得
,从而
,因为点
在双曲线
上,所以
,由椭圆的定义可得
,于是根据椭圆
之间的关系可得
,所以
的方程为
.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线垂直于
轴,即直线
的斜率不存在,因为
与
只有一个公共点,所以直线的方程为
或
,
当时,易知
所以
,此时
.
当时,同理可得
.
②当直线不垂直于
轴时,即直线
的斜率存在且设直线
的方程为
,联立直线与双曲线方程
可得
,当
与
相交于
两点时,设
,则
满足方程
,由根与系数的关系可得
,于是
,联立直线
与椭圆
可得
,因为直线
与椭圆只有一个交点,
所以,化简可得
,因此
,
于是,即
,所以
,
综上不存在符合题目条件的直线.
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【题目】如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ= .
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【题目】某民营企业生产两种产品,根据市场调查与预测,
产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,
产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元).
(1)分别将两种产品的利润表示为投资
(万元)的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
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【题目】选修4﹣1:几何证明选讲
如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,且AB是的⊙O直径,过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.
(1)若MD=6,MB=12,求AB的长;
(2)若AM=AD,求∠DCB的大小.
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【题目】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】若直线与曲线
满足下列两个条件:(
)直线
在点
处与曲线
相切; (
)曲线
在点
附近位于直线
的两侧,则称直线
在点
处“切过”曲线
.下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的编号)
①直线在点
处“切过”曲线
;
②直线在点
处“切过”曲线
;
③直线在点
处“切过”曲线
;
④直线在点
处“切过”曲线
.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
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