【题目】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】(1)a=-3或a=1; (2){a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}.
【解析】
(1)根据A∩B={2},可知B中有元素2,带入求解a即可;
(2)根据A∪B=A得BA,然后分B=和B≠两种情况进行分析可得实数a的取值范围.
(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1,2},
若A∩B={2},则x=2是方程x2+(a-1)x+a2-5=0的实数根,
可得:a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1;
(2)∵A∪B=A,∴BA,
当B=时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0无实数根,即(a-1)2-4(a2-5)<0
解得:a<-3或a>;
当B≠时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0有实数根,
若只有一个实数根,x=1或x=2,则△=(a-1)2-4(a2-5)=0
解得:a=-3或a=,∴a=-3.
若只有两个实数根,x=1、x=2,△>0,则-3<a<;
则(a-1)=-3,可得a=-2,a2-5=2,可得a=
综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}
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【题目】在2007全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩:
甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;
乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1;
(1)用茎叶图表示甲,乙两个成绩;并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩;
(2)分别计算两个样本的平均数和标准差,并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定.
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【题目】已知椭圆的长轴长为, 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率;
(Ⅱ)设点,动点在椭圆上,且在轴的右侧,线段的垂直平分线与轴相交于点,求的最小值.
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【题目】已知直线l: (t为参数,α≠0)经过椭圆C: (φ为参数)的左焦点F.
(1)求实数m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|×|FB|取最小值时,直线l的倾斜角α.
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【题目】如图, 为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.
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【题目】某大学的名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐名同学(乘同一辆车的名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ).
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
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【题目】已知正三棱柱的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,设,的中心分别为, ,现将此三棱柱绕直线旋转,射线旋转所成角为弧度(可以取到任意一个实数),对应的俯视图的面积为,则函数的最大值为__________,最小正周期为__________.
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【题目】某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下:
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些;
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.
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