Question

【题目】已知直线l： （t为参数，α≠0）经过椭圆C： （φ为参数）的左焦点F．
（1）求实数m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|×|FB|取最小值时，直线l的倾斜角α．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C： （φ为参数）化为普通方程： =1，

可得：a=2，b= ，c= =1，可得左焦点F（﹣1，0），

直线l： （t为参数，α≠0）化为普通方程：y=（x﹣m）tanα，

经过定点（m，0），因此m=﹣1．

（2）解：将直线的参数方程： （t为参数，α≠0）

代入椭圆C的普通方程中整理得：（3+sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0，

设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=﹣ ．

则|FA|×|FB|=|t1t2|= ，当sinα=±1时，|FA||FB|取最小值 ，

∵α∈（0，π），∴ ．

∴|FA||FB|取最小值时，直线l的倾斜角α= ．

【解析】（1）椭圆C： （φ为参数）化为普通方程： =1，利用c= ，可得左焦点F（﹣c，0），直线l： （t为参数，α≠0）化为普通方程：y=（x﹣m）tanα，经过定点（m，0），可得m．（2）将直线的参数方程： （t为参数，α≠0）代入椭圆C的普通方程中整理得：（3+sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0，利用根与系数的关系及其|FA|×|FB|=|t1t2|，即可得出．