【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2 ,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥平面ABB1A1 .
(1)证明:CD⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵D是矩形AA1的中点,∴AD= AA1=
.
∴ =
,∴△DAB∽△ABB1,∴∠ABD=∠AB1B,
∵∠BAB1+∠AB1B=90°,∴∠BAB1+∠ABD=90°,∴BD⊥AB1.
∵CO⊥平面ABB1A1,AB1平面ABB1A1,
∴CO⊥AB1,又CO平面BCD,BD平面BCD,CO∩BD=O,
∴AB1⊥平面BCD,∵CD平面BCD,
∴CD⊥AB1.
(2)解:以O为原点,以OD,OB1,OC为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
则A(0,﹣ ,0),B(﹣
,0,0),C(0,0,
),D(
,0,0).
∴ =(
,0,﹣
),
=(﹣
,
,0),
=(0,
,
).
设平面ABC的法向量为 =(x,y,z),则
,
即 ,令x=1得
=(1,
,﹣
).
∴ =
,∴cos<
>=
=
.
∴直线CD与平面ABC所成角的正弦值为 .
【解析】(1)根据△DAB∽△ABB得出BD⊥AB1 . 根据CO⊥平面ABB1A1得出CO⊥AB1 , 于是AB1⊥平面BCD,从而得出CD⊥AB1;(2)根据三角形相似计算OA,OB,OC,OD,以O为原点建立空间直角坐标系,求出 及平面ABC的法向量
,计算|cos<
>|即可.
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【题目】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足STR的任意集合T也是封闭集.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】已知椭圆的一个顶点为
,半焦距为
,离心率
,又直线
交椭圆于
,
两点,且
为
中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求弦
的长;
(3)若点恰好平分弦
,求实数
;
(4)若满足,求实数
的取值范围并求
的值;
(5)设圆与椭圆
相交于点
与点
,求
的最小值,并求此时圆
的方程;
(6)若直线是圆
的切线,证明
的大小为定值.
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【题目】已知直线l: (t为参数,α≠0)经过椭圆C:
(φ为参数)的左焦点F.
(1)求实数m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|×|FB|取最小值时,直线l的倾斜角α.
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【题目】在篮球比赛中,如果某位球员的得分,篮板,助攻,抢断,盖帽中有两个值达到或
以上,就称该球员拿到了两双.下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计:
场次 | 得分 | 篮板 | 助攻 | 抢断 | 盖帽 |
()从上述比赛中任选
场,求该球员拿到“两双”的概率.
()从上述比赛中任选
场,设该球员拿到“两双”的次数为
,求
的分布列及数学期望.
()假设各场比赛互相独立,将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率,设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为
,试比赛
与
的大小关系(只需写出结论).
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【题目】某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:
得出下面四个结论:
①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前
④乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
则所有正确结论的序号是_________.
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