Question

【题目】已知椭圆的长轴长为, 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率;

（Ⅱ）设点,动点在椭圆上,且在轴的右侧,线段的垂直平分线与轴相交于点,求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为,离心率为；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆长轴长为可得，解出即可得椭圆方程即离心率；（Ⅱ）设点，利用中点坐标公式可得：线段的中点坐标，由垂直平分线可可得直线的斜率为，利用直线的方程可得的纵坐标，又，得，可得，利用基本不等式的性质即可得出.

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长为,所以

所以,所以,,而,所以

所以椭圆的方程为,离心率为.

（Ⅱ）设,因为点在椭圆上,且在轴的右侧, 所以,

因为,所以的中点,，所以线段的垂直平分线的斜率,且过点，所以线段的垂直平分线的方程为

令,则,而

所以 ，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.