Question

【题目】选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|= ，

∴当 x＜﹣1时，不等式 即﹣1≥0，解得x∈．

当﹣1≤x＜0时，不等式即 2x+1≥0，解得 x≥﹣ ．综合可得﹣ ≤x＜0．

当x≥0 时，不等式即 1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．

综上，不等式的解集为[﹣ ，+∞）．

（2）解：设u（x）=|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和 y=x的图象如下图：

由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，

从而﹣1＜a＜0．

【解析】（1）若a=0，则f（x）= ，分 x＜﹣1时、当﹣1≤x＜0时、当x≥0 时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．