【题目】已知双曲线(b>a>0),O为坐标原点,离心率
,点
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于P、Q两点,且
.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
【答案】1
;
2
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 由,可得
,故双曲线方程为
,代入点
的坐标可得
,由此可得双曲线方程. (Ⅱ)根据直线
的斜率存在与否分两种情况求解.当斜率存在时,可根据一元二次方程根与系数的关系及两点间的距离公式求解即可.当斜率不存在时直接计算可得结果.
试题解析:
(1)由,可得
,
∴,
∴ 双曲线方程为,
∵ 点在双曲线上,
∴,
解得 ,
∴ 双曲线的方程为.
(2)①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
由消去y整理得
,
∵直线与双曲线交于
两点,
∴.
设,
,
则,
由得到:
,
即,
∴,
化简得.
∴,
当时上式取等号,且方程(*)有解.
②当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
,则有
,
由可得
,
可得,解得
.
∴.
∴
.
综上可得的最小值是24.
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【题目】选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求a的取值范围.
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【题目】如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ= .
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【题目】在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系
与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴
中,曲线C的方程为
.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(1,1),求的值.
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【题目】已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).
(1)求f(x2)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集恰有一个元素,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,对任意的t∈(,+∞),f(x2)在[t,t+1]的最大值与最小值的差不超过4,求a的取值范围.
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【题目】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图:
(Ⅰ)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际意义;
(Ⅱ)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为,试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数
表示为时间
的函数,并求出当汽车里程表读数为
时,汽车行驶了多少时间?
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【题目】某民营企业生产两种产品,根据市场调查与预测,
产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,
产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元).
(1)分别将两种产品的利润表示为投资
(万元)的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
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【题目】若直线与曲线
满足下列两个条件:(
)直线
在点
处与曲线
相切; (
)曲线
在点
附近位于直线
的两侧,则称直线
在点
处“切过”曲线
.下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的编号)
①直线在点
处“切过”曲线
;
②直线在点
处“切过”曲线
;
③直线在点
处“切过”曲线
;
④直线在点
处“切过”曲线
.
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