Question

【题目】已知函数．

（）当时，求的单调区间．

（）当时，求函数在区间上的最小值．

（）在条件（）下，当最小值为时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时， 的单调区间为，单调减区间是，当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；当时， 的单调增区间是；当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可求得函数在区间上的最小值；（3）分三种情况讨论的范围，分别利用导数求出函数的最小值，排除不合题意的情况，即可筛选出符合题意的的取值范围.

试题解析：（ ）由函数可知，

函数的定义域是，且，

当时， ，

令，得；令，得，

∴的单调增区间为，单调减区间是；

当时，令得或，

若，即，则恒成立，∴在上单调递增，

若，即，则和时， ，当时， ，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

若，即，则和时， ，当时， ，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时， 的单调区间为，单调减区间是，

当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；

当时， 的单调增区间是；

当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．

（）由（）可知，当，即时， 在上单调递增，

∴在上的最小值是；

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值是，

当时，即时， 在上单调递减，

∴在的最小值是，

综上所述，当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是．

（）由（）可知，当时， 在上单调递增，

∴在上的最小值是；

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

∴在上最小值是；

当时， 在上单调递减，

∴在上的最小值是；

综上，若在区间上的最小值是，则，

故的取值范围是．