Question

【题目】已知a∈R，f（x）=log2（1+ax）．

（1）求f（x2）的值域；

（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；

（3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当a≥0时，值域为[0，+∞），当a＜0时，值域为（-∞，0）； （2）1＜a≤2，或a＞4；

（3）（0，+∞）.

【解析】

（1）讨论a≥0时，a＜0时，由对数函数的单调性可得值域；

（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可；

（3）根据条件得到g（x）＝log2（1+ax2），a＞0，函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，g（t+1）﹣g（t）≤4，运用对数函数的单调性和参数分离进行求解即可．

（1）f（x）=log2（1+ax），可得f（x2）=log2（1+ax2），

当a≥0时，1+ax2≥1，即有log2（1+ax2）≥0；

当a＜0时，0＜1+ax21，即有log2（1+ax2）0；

即有当a≥0时，f（x）的值域为[0，+∞）；

当a＜0时，f（x）的值域为（-∞，0]；

（2）由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]，

即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，①

则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，

即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；

当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=，

若x=-1是方程①的解，则1-a=-a+1＞0，即a＜1，

若x=是方程①的解，则1+=＞0，即a＞4或a＜2，

则要使方程①有且仅有一个解，则a＞4或1≤a＜2．

综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一个元素，

则a的取值范围是1＜a≤2，或a＞4；

（3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），

f（x2）=log2（1+ax2），

设g（x）=log2（1+ax2），a＞0，

函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，

由题意得g（t+1）-g（t）≤4，

即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4，

即1+at2+2at+a≤16（1+at2），

即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立，

综上可得a的范围是（0，+∞）．