Question

19．已知F₁（-2，0），F₂（2.0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）点M，N是曲线E上的两个动点，且以线段MN为直径的圆恒经过点Q（-1.0），求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点P满足|PF₁|-|PF₂|=2＜4=|F₁F₂|，利用双曲线的定义即可判断出轨迹．
（2）设直线MN的方程为my=x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由于$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=0，化为（1+m²）y₁y₂+m（1-t）（y₁+y₂）+（1-t）²=0（*）．联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为（3m²-1）y²-6mty+3t²-3=0，利用根与系数的关系代入（*）即可得出．

解答 （1）解：∵点P满足|PF₁|-|PF₂|=2＜4=|F₁F₂|，
∴点P的轨迹E为双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的右支（x≥1）．
（2）证明：设直线MN的方程为my=x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
（my₁-t+1）（my₂-t+1）+y₁y₂=0，
化为（1+m²）y₁y₂+m（1-t）（y₁+y₂）+（1-t）²=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
化为（3m²-1）y²-6mty+3t²-3=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{6mt}{3{m}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{3{m}^{2}-1}$．
∴$\frac{（1+{m}^{2}）（3{t}^{2}-3）}{3{m}^{2}-1}$+$\frac{6{m}^{2}t（1-t）}{3{m}^{2}-1}$+（1-t）²=0，
化为：t²+t-2=0，
∴t=-2或t=1．
直线MN的方程为my=x+1或my=x-2．
∴直线MN经过定点（-1，0）（舍去），或（2，0）．
因此直线MN经过定点（2，0）．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、数量积运算性质、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．