Question

7．已知E，F分别是正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱AA₁，CC₁上的点，且A₁E=2EA，CF=2FC₁，求证：四边形BED₁F是平行四边形．

Answer 1

分析 可在该正方体的棱BB₁上取点G，使得BG=2GB₁，这样容易说明四边形A₁EBG为平行四边形，从而有BE∥A₁G，且BE=A₁G，同理可说明四边形GFCB为平行四边形．从而可得到GF∥BC，且GF=BC，这样便可得到四边形GFD₁A₁为平行四边形，从而得出A₁G∥D₁F，且A₁G=D₁F，这样便可得出四边形BED₁F为平行四边形．

解答 证明：如图，在棱BB₁上取点G，使BG=2GB₁，连接A₁G，FG；

A₁E=2EA；
∴A₁E∥BG，且A₁E=BG；
∴四边形A₁EBG为平行四边形；
∴BE∥A₁G，且BE=A₁G；
同理，GF∥BC，GF=BC；
又BC∥A₁D₁，且BC=A₁D₁；
∴GF∥A₁D₁，且GF=A₁D₁；
∴四边形GFD₁A₁为平行四边形；
∴A₁G∥D₁F，且A₁G=D₁F；
∴BE∥D₁F，且BE=D₁F；
∴四边形BED₁F为平行四边形．

点评 考查平行四边形的定义，根据一组对边平行且相等来判定一个四边形为平行四边形的方法．