Question

12．已知直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=4交于A、B两点．
（1）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的范围；
（2）若过A，B作圆M，且与y=-4相切，求圆M面积最小时圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点D，连接OD，由中点的向量表示形式和直线和圆相交的条件，即可得到所求范围；
（2）设圆M的方程为λ（x²+y²-4）+kx-y+1=0，即为x²+y²+$\frac{k}{λ}$x-$\frac{1}{λ}$y+$\frac{1}{λ}$-4=0，求出圆心和半径，由直线和圆相切的条件，可得d=r，化简可得k²=48λ²+20λ≥0，可得λ的范围，进而得到r的最小值，即可得到圆的方程．

解答 解：（1）取AB的中点D，连接OD，
则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=2|$\overrightarrow{OD}$|，
即为O到直线AB的距离的2倍，
由0≤|$\overrightarrow{OD}$|≤1，可得
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的范围为[0，2]；
（2）设圆M的方程为λ（x²+y²-4）+kx-y+1=0，
即为x²+y²+$\frac{k}{λ}$x-$\frac{1}{λ}$y+$\frac{1}{λ}$-4=0，
圆心为（-$\frac{k}{2λ}$，$\frac{1}{2λ}$），半径r=$\sqrt{4-\frac{1}{λ}+\frac{{k}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{1}{4{λ}^{2}}}$，
由圆与y=-4相切，可得|4+$\frac{1}{2λ}$|=r，
化简可得k²=48λ²+20λ，
由k²≥0，解得λ＞0或λ≤-$\frac{5}{12}$，
即有λ=-$\frac{5}{12}$，r取得最小值，且为4-$\frac{6}{5}$=$\frac{14}{5}$，
此时k=0，
即有圆M的方程为x²+y²+$\frac{12}{5}$y-$\frac{32}{5}$=0．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查中点的向量表示，直线和圆相切的条件以及圆的方程的求法，属于中档题．