Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1，∴当n≥2时，${S}_{n}=\frac{3}{2}{S}_{n-1}$+1，可得a_n+1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$，
又a₁+a₂=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1，解得a₂=$\frac{3}{2}$，∴${a}_{2}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{3}{2}$．
∴a_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{2}{3}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．