Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a_n=2S_n-1S_n（n≥2），a₁=1．
（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）把a_n=2S_n-1S_n（n≥2）代入a_n=2S_n-1S_n，整理后即可证明{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以-2为公差的等差数列；
（2）由（1）求出S_n，代入a_n=2S_n-1S_n（n≥2）可得a_n的表达式．

解答 （1）证明：由a_n=2S_n-1S_n（n≥2），得
S_n-S_n-1=2S_n-1S_n（n≥2），
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}-\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}=2$，即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-2$（n≥2）．
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以-2为公差的等差数列；
（2）由（1）知：$\frac{1}{{S}_{n}}=1-2（n-1）=3-2n$．
∴${S}_{n}=\frac{1}{3-2n}$，
则a_n=2S_n-1S_n=$2×\frac{1}{3-2（n-1）}×\frac{1}{3-2n}=\frac{2}{（5-2n）（3-2n）}$（n≥2），
当n=1时上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{（5-2n）（3-2n）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．