Question

18．已知函数f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x$+\frac{π}{4}$）+2sin（x$+\frac{π}{4}$）sin（x$-\frac{π}{4}$）$+\sqrt{3}$．
（I）求函数f（x）的单凋递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，利用函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．

解答 解：（I）∵函数f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x$+\frac{π}{4}$）+2sin（x$+\frac{π}{4}$）sin（x$-\frac{π}{4}$）$+\sqrt{3}$
=-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$-2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）-sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=-$\sqrt{3}$+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-$\sqrt{3}$+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，即函数的值域为[-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．