Question

【题目】已知数列满足，，是数列的前项的和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；

（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2），.（3）或14.

【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由 列是首项为2，公差为1的等差数列 .

（2）建立方程组，或.当 ，当 无正整数解，综上，.

（3）假设存在正整数，使得， ，或，，，（舍去） 或14.

试题解析：

（1）因为，，

所以当时，，，

当时，

由 和，

两式相除可得，，即

所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.

于是，.

（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，

所以，于是，或.

当时，，解得，

当时，，无正整数解，

所以，.

（3）假设存在满足条件的正整数，使得，

则，

平方并化简得，，

则，

所以，或，或，

解得：，或，，或，（舍去），

综上所述，或14.