Question

【题目】（文科学生做）已知数列满足.

（1）求，，的值，猜想并证明的单调性；

（2）请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列．

Answer 1

【答案】(1) ，猜想该数列为单调递减数列，证明见解析.

(2)见解析.

【解析】分析：（1）由题可直接计算，，的值，根据数值的增减性可猜想单调性；（2）反证法证明，先假设结论的反面成立，然后根据假设结合题设找出矛盾即可得原命题正确.

详解：

（1）计算得，猜想该数列为单调递减数列.

下面给出证明：，

因为，故，所以恒成立，即数列为单调递减数列.

（2）假设中存在三项成等差数列，不妨设为 这三项，

由（1）证得数列为单调递减数列，则，即，

两边同时乘以，则等式可以化为，（※）

因为，所以均为正整数，故与为偶数，

而为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，

所以假设不成立，故数列中任意三项都不能构成等差数列．