Question

3．已知定义在R上函数f（x）的值域是（-∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f³（x）-3f（x）-1=0的解的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令t=f（x），得到关于t的函数g（t），通过求导得到函数g（t）的大致图象，从而判断出所求方程解的个数．

解答 解：令t=f（x），则有t³-3t-1=0，
令g（t）=t³-3t-1，g′（t）=3t²-3=3（t+1）（t-1），
于是可得：g（t）的图象如下：
，
∴方程t³-3t-1=0有3个不同的解，其中2个解是负的，
而函数f（x）的值域是（-∞，0]，并且函数f（x）单调，
∴方程f³（x）-3f（x）-1=0有2个不同的实数解，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道中档题．