Question

（2011•广州模拟）已知函数f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点(0，-

1

3

)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求当a=3时函数的导数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间；
（2）方法1：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，原问题转化为：对于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，令h（x）=x²-ax+2a，结合二次函数的性质得到关于a的不等关系，从而求出实数a的取值范围；
方法2：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数a的取值范围；
（3）先将过点(0，-

1

3

)可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得a的范围．

解答：解：（1）当a=3时，f(x)=-

1

3

x3+

3

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+3x-2．…（1分）
因为f'（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x²+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x²-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或

△≥0 a 2 ≤1 h(1)＞0.

…（5分）
即a²-8a＜0或

a2-8a≥0 a 2 ≤1 1+a＞0.

…（6分）
所以实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
方法2：由f(x)=-

1

3

x3+

a

2

x2-2x，得f'（x）=-x²+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．…（4分）
因为f′(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-2，其图象开口向下，对称轴为x=

a

2

．
①当

a

2

＜1时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f'（x）_max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此时-1＜a＜2．…（5分）
②当

a

2

≥1时，即a≥2时，f'（x）在[1，

a

2

]上单调递增，在(

a

2

，+∞)上单调递减，
所以f′(x)max=f′(

a

2

)=

a2

4

-2，
由

a2

4

-2＜2(a-1)，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…（6分）
综上①②可得，实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
（3）设点P(t，-

1

3

t3+

a

2

t2-2t)是函数y=f（x）图象上的切点，
则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=-t²+at-2，…（8分）
所以过点P的切线方程为y+

1

3

t3-

a

2

t2+2t=(-t2+at-2)(x-t)．…（9分）
因为点(0，-

1

3

)在切线上，
所以-

1

3

+

1

3

t3-

a

2

t2+2t=(-t2+at-2)(0-t)，
即

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0．…（10分）
若过点(0，-

1

3

)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

=0有三个不同的实数解．…（11分）
令g(t)=

2

3

t3-

1

2

at2+

1

3

，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点．
令g'（t）=2t²-at=0，解得t=0或t=

a

2

．…（12分）
因为g(0)=

1

3

，g(

a

2

)=-

1

24

a3+

1

3

，
所以必须g(

a

2

)=-

1

24

a3+

1

3

＜0，即a＞2．…（13分）
所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．