Question

11．已知i是虚数单位．
（Ⅰ）若复数z满足（z+i）²=2i，求复数z；
（Ⅱ）若复数z=$\frac{2a+i}{-1+2i}$为纯虚数，求实数a的值及|z|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令z=m+ni（m，n∈R），代入由（z+i）²=2i，展开后由复数相等的条件列关于m，n的方程组，求得m，n的值，则复数z可求；
（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于0且虚部不等于0求得a值，进一步得到z，则|z|可求．

解答 解：（Ⅰ）令z=m+ni（m，n∈R），代入由（z+i）²=2i，
得[m+（n+1）i]²=m²-（n+1）²+2m（n+1）i=2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-（n+1）^{2}=0}\\{m（n+1）=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$．
∴z=1或z=-1-2i；
（Ⅱ）由复数z=$\frac{2a+i}{-1+2i}$=$\frac{（2a+i）（-1-2i）}{（-1+2i）（-1-2i）}=\frac{（-2a+2）-（4a-1）i}{5}$为纯虚数，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2=0}\\{4a-1≠0}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴|z|=|-i|=1．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，训练了复数模的求法，是中档题．