Question

20．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²．
（1）求角B；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，代入计算，即可求角B；
（2）由余弦定理可得12=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2accosB=a²-c²+a²+c²-2accosB，
∴4a²cosB=2a²，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0°＜B＜180°，
∴B=60°；
（2）由余弦定理可得12=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤12，
∴S≤$\frac{1}{2}$acsinB=3$\sqrt{3}$，
∴△ABC面积的最大值为3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．