Question

16．已知S_n是公差不为0 的等差数列{a_n}的前n 项和，S₁，S₂，S₄成等比数列，且${a_3}=-\frac{5}{2}$，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d=-1，a₁=-$\frac{1}{2}$，可得a_n=-$\frac{2n-1}{2}$；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{（2n+1）{a}_{n}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=-（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
S₁，S₂，S₄成等比数列，且${a_3}=-\frac{5}{2}$，
可得S₂²=S₁S₄，a₁+2d=-$\frac{5}{2}$，
即有（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），
化为d=2a₁，解得d=-1，a₁=-$\frac{1}{2}$，
可得a_n=a₁+（n-1）d=-$\frac{1}{2}$-（n-1）=-$\frac{2n-1}{2}$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{a_n}}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=-（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则前n项和T_n=-（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=-（1-$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．