Question

1．设二次函数f（x）=ax²+2bx+c（c＞b＞a），其图象过点（1，0），且与直线y=-a有交点．
（1）求证：$0≤\frac{b}{a}＜1$；
（2）若直线y=-a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）的其图象与直线y=-a有交点，得到ax²+2bx+c+a=0有实根，根据判别式即可求出答案，
（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，根据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到m，n的关系，再设x₁，x₂是方程ax²+2bx+c+a=0的两根和x₃，x₄是方程ax²+2bx+c-a=0的两根，代入计算即可．

解答 解：（1）∵a+2b+c=0，c＞b＞a，
∴a＜0，c＞0，
∵-a-2b＞b＞a，
∴-$\frac{1}{3}$＜$\frac{b}{a}$＜1，
∵函数f（x）的其图象与直线y=-a有交点，
∴ax²+2bx+c+a=0有实根，即
△=4b²-4a（c+a）=4b²+8ab≥0，
∴4（$\frac{b}{a}$）²+8•$\frac{b}{a}$≥0，知$\frac{b}{a}$≤-2或$\frac{b}{a}$≥0，
综上所述可得0≤$\frac{b}{a}$＜1，
（2）∵点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，
设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，
∵线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+m＞n}\\{{m}^{2}+{m}^{2}＜{n}^{2}}\end{array}\right.$，得n＜2m＜$\sqrt{2}$n，
∴2n＜2m+n＜（$\sqrt{2}$+1）n，
∴2|BC|＜|AD|＜（$\sqrt{2}$+1）|BC|，
设x₁，x₂是方程ax²+2bx+c+a=0的两根，
则|BC|=$\sqrt{4（\frac{b}{a}）^{2}+8•\frac{b}{a}}$，
设x₃，x₄是方程ax²+2bx+c-a=0的两根，
则|AD|=$\sqrt{4（\frac{b}{a}）^{2}+8•\frac{b}{a}+8}$，
∴2$\sqrt{4（\frac{b}{a}）^{2}+8•\frac{b}{a}}$＜$\sqrt{4（\frac{b}{a}）^{2}+8•\frac{b}{a}+8}$＜（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{4（\frac{b}{a}）^{2}+8•\frac{b}{a}}$，
解得-1+$\root{4}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜-1+$\frac{\sqrt{15}}{3}$

点评 本题考查直线y=-a和曲线f（x）交点的横坐标和方程f（x）=-a解的关系，求根公式求一元二次方程的根，三条线段构成三角形的条件：两边之和大于第三边，分类讨论的方法，以及结合图形解题的方法，根据函数的单调性求函数的值域．