Question

12．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=3$，且$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的正弦值为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系计算即可．

解答 解：$\overrightarrow a•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=3$，且$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，
设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为θ，
∵两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系，属于基础题．