Question

17．已知两定点A（-2，0），B（1，0）．曲线C上的任意一点P满足|PA|=2|PB|．
（I）求曲线C的方程：
（II）直线l过点D（4，6）且与曲线C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），运用两点的距离公式，平方化简可得曲线C的方程；
（2）求得曲线为圆，求得圆心和半径，讨论直线l的斜率不存在和存在，设y-6=k（x-4），运用直线和圆相切的条件：d=r，以及点到直线的距离公式，化简整理计算即可得到所求直线l的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），由|PA|=2|PB|，
可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
平方可得x²+y²+4x+4=4（x²+y²-2x+1），
化简可得x²+y²-4x=0，
即有（x-2）²+y²=4，
则曲线C的方程为圆（x-2）²+y²=4；
（2）圆（x-2）²+y²=4的圆心为C（2，0），半径为2，
当直线l的斜率不存在时，设为x=4，
圆心C到直线x=4的距离为2，显然成立；
当直线l的斜率存在时，设为y-6=k（x-4），
即为kx-y+6-4k=0，
由直线和圆相切，可得d=r，
即$\frac{|2k-0+6-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解方程可得k=$\frac{4}{3}$，
即有直线l的方程为4x-3y+2=0．
综上可得，直线l的方程为x=4或4x-3y+2=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查切线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，注意考虑切线的斜率不存在的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．