Question

2．已知函数f（x）=x²-ax-4，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[0，2]上单调，求a的范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为-8，求a的值．
（Ⅲ）若对任意的a∈R，总存在x₀∈[1，2]，使得|f（x₀）|≥m成立，求m的取值范围．
（Ⅳ）若函数g（x）=x²-|f（x）|在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对称轴，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）通过对称轴的位置，求出函数的最大值，结合a的范围，求出m的范围即可；（Ⅳ）求出g（x）的分段函数，通过判断函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={（x-\frac{a}{2}）^2}-4-\frac{a^2}{4}$．其对称轴为$x=\frac{a}{2}$．（2分）
由已知，$\frac{a}{2}≤0$或$\frac{a}{2}≥2$，即a≤0或a≥4．（4分）
（Ⅱ）（a）．若$\frac{a}{2}≤a，即a≤0$时，f（x）在区间[a，a+1]上单调递增，
此时f（x）_min=f（a）=-4＞-8，不合题意．．   （5分）
（b）．若$a＜\frac{a}{2}＜a+1$，即-2＜a＜0时，
在区间$[a，\frac{a}{2}]$上单调递减，在区间$[\frac{a}{2}，a+1]$上单调递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-4=-8$，
解得a=±4，因为此处-2＜a＜0，所以此解舍去．．        （6分）
（c）．若$\frac{a}{2}≥a+1$，即a≤-2时，f（x）在区间[a，a+1]上单调递减，
此时f（x）_min=f（a+1）=a-3=-8，解得a=-5．（8分）
综上所述，a=-5．（9分）
（Ⅲ）（1）$\frac{a}{2}≥2$即a≥4时，|f（x）|_max=max{|a+3|，2|a|}=2a≥8．
所以m≤8．（10分）
（2）$1＜\frac{a}{2}＜2$即2＜a＜4的时，${|{f（x）}|_{max}}=max\left\{{|{a+3}|，2|a|，|{4+\frac{a^2}{4}}|}\right\}$．
因为$4+\frac{a^2}{4}-2a={（{2-\frac{a}{2}}）^2}≥0$，$4+\frac{a^2}{4}-3-a={（{1-\frac{a}{2}}）^2}≥0$，
所以|f（x）|_max=max{|a+3|，2|a|，|4+$\frac{{a}^{2}}{4}$|}=4+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
因为2＜a＜4，所以m≤5． （11分）
（3）$\frac{a}{2}≤1$，即a≤2时，|f（x）|_max=max{|a+3|，2|a|}，|f（x）|_max≥|a+3|，|f（x）|_max≥2|a|，
故3|f（x）|_max≥|a+3|+|a+3|+|2a|≥|a+3+a+3-2a|=6．
所以m≤2（a=-1时取到2）．          （13分）
综上所述，m≤2． （14分）
（Ⅳ）设f（x）的两个零点为x₁，x₂，且x₁＜x₂．
所以，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}ax+4，x＜{x_1}\\ 2{x^2}-ax-4，\;{x_1}≤x≤{x_2}\\ ax+4，x＞{x_2}.\end{array}\right.$
若a≤0，则g（x）在（-∞，x₁）上单调递减，
从而g（x）在区间（-∞，-2）上不可能单调递增，于是只有a＞0．（10分）
又因为：f（-2）=2a＞0，f（0）=-4＜0所以：-2＜x₁＜0（11分）
当 a＞0时，由（1）知：-2＜x₁＜0，
于是，由g（x）在（-∞，x₁）上单调递增可知，g（x）在（-∞，-2）也是单调递增的．（12分）
又因为g（x）在$（\frac{a}{4}，{x_2}）$和（x₂，+∞）均单调递增，
结合函数图象可知，$g（x）在（\frac{a}{4}，+∞）$上单调递增，
于是，欲使g（x）在（2，+∞）上单调的增，只需$2≥\frac{a}{4}$，亦即a≤8．   （13分）
综上所述，a的范围是a∈（0，8]．（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想以及学生的理解计算能力，是一道综合题．