Question

12．直线xsinθ+$\sqrt{3}$y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）

• A． [${\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}}$]
• B． [${\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}}$]
• C． [0，$\frac{π}{6}}$]∪[${\frac{5π}{6}$，π]
• D． [0，$\frac{π}{3}}$]∪[${\frac{2π}{3}$，π]

Answer 1

分析 先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．

解答 解：∵直线xsinθ+$\sqrt{3}$y+2=0，∴y=-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$x-$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴直线的斜率k=-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$．
又∵xsinθ+$\sqrt{3}$y+2=0倾斜角为α，
∴tanα=-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$．
∵-1≤-sinθ≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tanα≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴α∈[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π）．
故选：C．

点评 熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键，基本知识的考查．