Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知2acosB=$\sqrt{3}$（bcosC+ccosB）．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$b，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosB=$\sqrt{3}$sinA，可求cosB，结合B范围即可得解；
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求a=$\frac{8}{b}$，利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB，整理可得：b⁴-12b²+32=0，进而可得b，a的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）由2acosB=$\sqrt{3}$（bcosC+ccosB）及正弦定理可得：2sinAcosB=$\sqrt{3}$（sinBcosC+sinCcosB）=$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinA，
由于sinA≠0，两边同时除以sinA，可得2cosB=$\sqrt{3}$，
所以，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{6}$．…5分
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{6}$，c=$\sqrt{3}$b，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{4}$ac，可得：ac=8$\sqrt{3}$，可得：a=$\frac{8}{b}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：b²=$\frac{64}{{b}^{2}}$+3b²-2×$\frac{8}{b}$×$\sqrt{3}b$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理可得：b⁴-12b²+32=0，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{2}}\\{a=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{a=4}\end{array}\right.$．…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．