Question

16．设a，b，c为三角形ABC三边长，a≠1，b＜c，若$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，且$\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，则B角大小为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 $\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，化为$lo{g}_{a}（{c}^{2}-{b}^{2}）$=2，可得c²=b²+a²，$C=\frac{π}{2}$．由$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，可得2$sin（A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，解得A．即可得出B．

解答 解：∵$\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，
∴log_a（c-b）+log_a（c+b）=$lo{g}_{a}（{c}^{2}-{b}^{2}）$=2，
∴c²-b²=a²，即c²=b²+a²，
∴$C=\frac{π}{2}$．
∵$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，
∴2$sin（A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，解得A=$\frac{π}{12}$．
则B=$\frac{π}{2}-\frac{π}{12}$=$\frac{5π}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查了对数的运算性质、勾股定理的逆定理、和差公式、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．