Question

6．数列{a_n}中，a₁=2，且a_n=$\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$（n≥2）．
（1）求证：$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，并求a_n；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n+1，求数列{b_n}的前n项的和为S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$两边同时取倒数，可构造首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列$\{\frac{1}{a_n}\}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项、进而并项相加即得结论．

解答 证明：（1）∵${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{{2+{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$（n≥2），
又∵a₁=2，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+（n-1）\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$，${a_n}=\frac{2}{n}$；
解：（2）由（1）可知${b_n}={a_{2n-1}}•{a_{2n+1}}=\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2n+1}=\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=2（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{4n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．