Question

4．在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠B=$\frac{π}{4}$，则AB+2AC的最小值为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由内角和定理和条件表示出C，并求出A的范围，利用正弦定理表示出AB、AC，代入AB+2AC利用两角差的正弦公式、分离常数法化简，再构造函数：求导、求单调区间、最小值，即可求出AB+2AC的最小值．

解答 解：因为B=$\frac{π}{4}$，A+B+C=π，所以A+C=$\frac{3π}{4}$，
则C=$\frac{3π}{4}$-A，$A∈（0，\frac{3π}{4}）$，
由正弦定理得，$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，
所以AB=$\frac{BC•sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-A）}{sinA}$，AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}}{sinA}$=$\frac{1}{sinA}$，
所以AB+2AC=$\frac{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-A）}{sinA}$+$\frac{2}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}（sin\frac{3π}{4}cosA-cos\frac{3π}{4}sinA）+2}{sinA}$
=$\frac{cosA+sinA+2}{sinA}$=$\frac{cosA+2}{sinA}$+1，
设y=$\frac{cosA+2}{sinA}$，$A∈（0，\frac{3π}{4}）$，
则y′=$\frac{（cosA+2）′•sinA-（cosA+2）•（sinA）′}{si{n}^{2}A}$
=$\frac{-si{n}^{2}A-co{s}^{2}A-2cosA}{si{n}^{2}A}$=$\frac{-1-2cosA}{si{n}^{2}A}$，
由y′=0得，-1-2cosA=0，cosA=$-\frac{1}{2}$，则A=$\frac{2π}{3}$，
当$A∈（0，\frac{2π}{3}）$时，y′＜0，函数y在$（0，\frac{2π}{3}）$上是减函数，
当$A∈（\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}）$时，y′＞0，函数y在$（\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}）$上是增函数，
∴当A=$\frac{2π}{3}$时，函数y=$\frac{cosA+2}{sinA}$取到最小值是$\frac{-\frac{1}{2}+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}$，
∴AB+2BC的最大值为$\sqrt{3}+1$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查正弦定理、两角差的正弦公式，导数与函数的单调性、最值的应用，以及构造函数法、分离常数法，考查化简、计算能力，属于难题．