Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=2，S_n=6，且S_n-S_n-2=3n（n≥3），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n为奇数\\ \frac{3n}{2}+1，n为偶数\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知求得a₁，a₂，再由数列递推式可得数列{a_n}的奇数项和偶数项均构成以3为公差的等差数列，然后分类由等差数列的通项公式求得答案．

解答 解：由S_n-S_n-2=3n，得a_n+a_n-1=3n（n≥2），
∴a_n+1+a_n=3（n+1），
两式作差得：a_n+1-a_n-1=3（n≥2），
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项均构成以3为公差的等差数列．
∵S₁=2，S₂=6，∴a₁=2，a₂=4．
∴当n为奇数时，${a}_{n}={a}_{1}+（\frac{n+1}{2}-1）d=2+3×\frac{n-1}{2}=\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}$；
当n为偶数时，${a}_{n}={a}_{2}+（\frac{n}{2}-1）d=4+3×\frac{n-2}{2}=\frac{3n}{2}+1$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n为奇数\\ \frac{3n}{2}+1，n为偶数\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n为奇数\\ \frac{3n}{2}+1，n为偶数\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，属于中档题．