Question

10．已知关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+2m=0的两根为sinθ和cosθ（θ∈（0，π）），求：
（1）m的值．
（2）$\frac{sinθ}{1-cotθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值（其中cotθ=$\frac{1}{tanθ}$）．
（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系可知，sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθ•cosθ=m．联立方程即可得解m的值．
（2）将所求切化弦，利用（1）即可计算得解．
（3）由m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得一元二次方程，解得方程的两根，根据范围θ∈（0，π），即可求得θ的值．

解答 解：（1）由根与系数的关系可知，
sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，①
sinθ•cosθ=m．②
将①式平方得1+2sinθ•cosθ=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
所以sinθ•cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
代入②得m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）$\frac{sinθ}{1-cotθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{si{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$=sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（3）因为已求得m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以原方程化为2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$．
所以$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{cosθ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{1}{2}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
又因为θ∈（0，π），所以θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．