Question

6．设a为非零常数，已知（x+$\frac{2}{x}$）（1-ax）⁴的展开式中各项系数和为3，展开式中x²项的系数是-72．

Answer 1

分析 在已知二项式中取x=1，结合展开式中各项系数和为3求得a值，然后求出（1-2x）⁴的展开式中含x项与含x³的项，与（x+$\frac{2}{x}$）中对应的项作积得答案．

解答 解：∵（x+$\frac{2}{x}$）（1-ax）⁴的展开式中各项系数和为3，
∴（1+2）（1-a）⁴=3，解得a=2（a≠0）．
∴（x+$\frac{2}{x}$）（1-ax）⁴ =（x+$\frac{2}{x}$）（1-2x）⁴，
（1-2x）⁴的展开式中所含x项为${C}_{4}^{1}（-2x）=-8x$，含x³的项为${C}_{4}^{3}（-2x）^{3}=-32{x}^{3}$．
∴（x+$\frac{2}{x}$）（1-2x）⁴的展开式中x²项的系数是1×（-8）+2×（-32）=-72．
故答案为：-72．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项，是基础题．