Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＜b＜c）．已知向量$\overrightarrow m$=（a，c），$\overrightarrow n$=（cosC，cosA）满足$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$（a+c）．
（1）求证：a+c=2b；
（2）若2csinA-$\sqrt{3}$a=0，且c-a=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、余弦定理即可证明．
（2）由2csinA-$\sqrt{3}$a=0，利用正弦定理可得2sinCsinA-$\sqrt{3}$sinA=0，化为sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a＜b＜c，可得C为钝角．cosC=$-\frac{1}{2}$，利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab，与c-a=8，2b=a+c联立解出即可得出．

解答 证明：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（a，c），$\overrightarrow n$=（cosC，cosA）满足$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$（a+c）．
∴acosC+ccosA=$\frac{1}{2}$（a+c），
∴a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}（a+c）$，
∴2b=a+c．
解：（2）∵2csinA-$\sqrt{3}$a=0，
∴2sinCsinA-$\sqrt{3}$sinA=0，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a＜b＜c，
∴C为钝角．
∴cosC=$-\frac{1}{2}$
∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab，与c-a=8，2b=a+c．
联立解得a=6，b=10，c=14．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×6×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．