Question

10．过点P（2，1）作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求直线l的两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
（3）求|PA|•|PB|的最小值及此直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设AB的方程为为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，利用基本不等式算出ab≥8，可得当且仅当a=4且b=2时，△AOB的面积S有最小值为4，进而算出此时的直线l方程；
（2）过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设∠PAO=θ，利用解直角三角形知识算出|AC|，|BD|=2tanθ，从而将|OA|+|OB|表示为关于tanθ的式子，再利用基本不等式加以计算，即可求出|OA|+|OB|的最小值，而此时直线斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程．
（3）由（2）的结论得|PA|，|PB|，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函数的值域可得当θ=$\frac{π}{4}$时，|PA|•|PB|取最小值4．而此时直线斜率为-1，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程．

解答 解：（1）设直线AB的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
∵点P（2，1）在直线上，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
由基本不等式1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$=$\sqrt{\frac{8}{ab}}$，当且仅当a=4且b=2时，等号成立，
∴ab≥8，可得△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
因此△AOB的面积S的最小值为4，
此时的直线方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0；
（2）：设∠PAO=θ，则可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
则Rt△PDB中，tanθ=$\frac{|BD|}{|PD|}$，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，
cosθ=$\frac{|PD|}{|PB|}$，可得|PB|=$\frac{|PD|}{cosθ}$=$\frac{2}{cosθ}$，
同理，在Rt△PAC中，有|AC|=$\frac{|PC|}{tanθ}$=$\frac{1}{tanθ}$，|PA|=$\frac{1}{sinθ}$，
∴|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=3+$\frac{1}{tanθ}$+2tanθ，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），得tanθ＞0，
∴$\frac{1}{tanθ}$+2tanθ≥2$\sqrt{2}$，可得当且仅当tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立．
由此可得|OA|+|OB|的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
此时方程为的斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线l的方程为y-1=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2），化为一般式可得$\sqrt{2}$x+2y-2-2$\sqrt{2}$=0
（3）∵|PA|=$\frac{1}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{4}{sin2θ}$
当2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$时，|PA|•|PB|取最小值4，
此时，直线的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，斜率为-1，
直线l的方程为y-1=-1（x-2），化为一般式可得x+y-3=0

点评 本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、三角形面积的计算和基本不等式求最值等知识，属于中档题．