Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0、|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单凋递增区间：
（2）已知g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，求函数y=f（x）与y=g（x）图象的所有交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式，进而可求其单调递增区间．
（2）令f（x）=g（x），分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可解得交点的坐标．

解答 解：（1）由题意可知A=2，T=4×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，
因为：当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，
所以：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
因为：|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：φ=$\frac{π}{6}$，
所以：函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以：函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
因为：x∈[0，π]，
所以：函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为：[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，
∴分类讨论：
①当0＜x＜π时，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得：2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，从而解得其交点坐标为：（$\frac{π}{3}$，1）．
②当x=π时，f（π）=2sin（2π+$\frac{π}{6}$）=1，g（π）=$\frac{1}{2}$，无交点．
③当π＜x＜2π时，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=0，可得：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
由于π＜x＜2π，可得2个交点的坐标分别为：（$\frac{17π}{12}$，0），（$\frac{23π}{12}$，0）．

点评 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并求函数图象与g（x）的交点坐标，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型，属于中档题．