Question

11．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{（n+2）{a}_{n}^{2}-{na}_{n}+n+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，（n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，猜测a_n，并用数学归纳法证明；
（2）比较3^a_n与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，并给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）直接由数列递推式结合a₁=1求得a₂，a₃，a₄的值，猜测a_n，然后利用数学归纳法证明；
（2）比较3^a_n与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，即比较3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{（n+2）{a}_{n}^{2}-{na}_{n}+n+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，且a₁=1，
得${a}_{2}=\frac{3×{1}^{2}-1×1+2}{2}=2$，
${a}_{3}=\frac{4×{2}^{2}-2×2+3}{5}=3$，
${a}_{4}=\frac{5×{3}^{2}-3×3+4}{10}=4$．
由上猜测a_n=n．
下面用归纳法证明：
当n=1时，a₁=1，结论成立；
假设当n=k时结论成立，即a_k=k，
则当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{（k+2）•{{a}_{k}}^{2}-k{a}_{k}+k+1}{{{a}_{k}}^{2}+1}$=$\frac{（k+2）•{k}^{2}-{k}^{2}+k+1}{{k}^{2}+1}$
=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+k+1}{{k}^{2}+1}=\frac{k（{k}^{2}+1）+{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}=\frac{（k+1）（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+1}=k+1$．
∴当n=k+1时，结论成立．
综上，a_n=n；
（2）3^a_n =3ⁿ，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]．
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0．
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）² ．
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．