Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  3

  3

• C．

  2

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：设AB=1，则AA₁=2，分别以

D1A1

、

D1C1

、

D1D

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设

n

=（x，y，z）为平面BDC₁的一个法向量，CD与平面BDC₁所成角为θ，
则sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．

解答：解：设AB=1，则AA₁=2，分别以

D1A1

、

D1C1

、

D1D

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：

则D（0，0，2），C₁（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），

DB

=（1，1，0），

DC1

=（0，1，-2），

DC

=（0，1，0），
设

n

=（x，y，z）为平面BDC₁的一个法向量，则

n • DB =0 n • DC1 =0

，即

x+y=0 y-2z=0

，取

n

=（-2，2，1），
设CD与平面BDC₁所成角为θ，则sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|=

2

3

，
故选A．

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．