Question

4．设函数f（x）=|x+2|+|x-a|，x∈R．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（II）若对于?x∈R，f（x）≥a²恒成立，求a 的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥5的解集．
（II）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|2+a|，结合题意可得|2+a|≥a² 恒成立，∴2+a≥a² 或 2+a≤-a²，由此求得a的取值范围．

解答 解：（I）当a=1时，求不等式f（x）≥5，即|x+2|+|x-1|≥5．
而由绝对值的意义可得，|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，
而-3和2对应点到-2、1对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≥5的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（II）若对于?x∈R，f（x）≥a²恒成立，故f（x）=|x+2|+|x-a|≥|x+2-（x-a）|=|2+a|，
∴|2+a|≥a² 恒成立，∴2+a≥a² 或 2+a≤-a²，
求得-1≤a≤2，故a的取值范围为[-1，2]．

点评 本题主要考查绝对值的意义、绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．