Question

15．在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=100+300x-2x²（单位元），其成本函数为C（x）=50x+400（单位元），利润等于收入与成本之差．
（1）求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
（2）求出的利润函数p（x）与其边际利润函数Mp（x）是否具有相同的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用利润等于收入与成本之差代入可得利润函数p（x）的表达式，进而利用边际函数的定义可得边际利润函数Mp（x）的表达式；
（2）通过（1）分别计算出各自的最大值，进而比较即得结论．

解答 解：（1）p（x）=R（x）-C（x）
=（100+300x-2x²）-（50x+400）
=-2x²+250x-300（0≤x≤100，x∈N^*），
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=[-2（x+1）²+250（x+1）-300]-（-2x²+250x-300）
=-4x+248（0≤x≤100，x∈N^*）；
（2）∵p（x）=-2x²+250x-300（0≤x≤100，x∈N^*），
∴当x=$-\frac{250}{2×（-2）}$=62.5时p（x）取最大值，
又∵当x=62或63时y=-2×62²+250×62-300=7512，
∴利润函数p（x）的最大值为7512；
∵Mp（x）=-4x+248（0≤x≤100，x∈N^*），
∴当x=0时Mp（x）取最大值248，
∴利润函数p（x）与其边际利润函数Mp（x）不具有相同的最大值．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．