【题目】如图，在正方体
中，
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点，则下列说法：
①
平面
；②
；③
；④
平面，
其中正确的命题序号是________.
【答案】①②③④
【解析】
①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行；
②利用线面垂直，证明线线垂直；
③构造平行四边形可证明线线平行；
④构造平面，通过线线平行可证线面平行.
在正方体
中，
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点，
①如图,设
中点为
，连接
，
，
，
，
，
，
则有
，
∴四边形
为平行四边形，
同理四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
且
平面
，
平面，
∴
平面，
故命题①正确；
②如图，连接
，
，
，
，
则有
平面
，
，
且
平面，
∴
，
∴
，
故命题②正确；
③如图，连接
，，
，，，，
则有
，
，，
，
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
故命题③正确；
④如图，设
中点为
连接
，
，
，，，，
，
由③得
，
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
同理四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
且
平面
，
平面，
∴
平面，
即平面，
故命题④正确.
故答案为：①②③④.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A.444种B.1776种C.1440种D.1560种
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校为确定数学成绩与玩手机之间的关系，从全校随机抽样调查了40名同学，其中40％的人玩手机．这40位同学的数学分数（百分制）的茎叶图如图所示．
数学成绩不低于70分为良好，低于70分为一般．
（1）根据以上资料完成下面的
列联表，并判断有多大把握认为“数学成绩良好与不玩手机有关系”．
良好 | 一般 | 总计 | |
不玩手机 | |||
玩手机 | |||
总计 | 40 |
（2）现将40名同学的数学成绩分为如下5组：
，
，
，
，
．其频率分布直方图如图所示．计算这40名同学数学成绩的平均数，由茎叶图得到的真实值记为
，由频率分布直方图得到的估计值记为
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求与的误差值．
（3）从这40名同学数学成绩高于90分的7人中随机选取2人介绍学习方法，求这2保不玩手机的人数
的分布列和数学期望．
附：
，这40名同学的数学成绩总和为2998分．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名
观众进行调查，其中有
名男观众和
名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在
分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取
名，再从这名观众中任选
名，求至少选到
名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
的焦点为
，
为坐标原点，过点的直线
与
交于
、
两点.
（1）若直线与圆
相切，求直线的方程；
（2）若直线与
轴的交点为
，且
，
，试探究：
是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
是数列
的前
项和，对任意
都有
成立（其中
是常数）.
（1）当
时，求：
（2）当
时，
①若
，求数列的通项公式：
②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“
数列”，如果
，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有
，且
，若存在，求数列的首项
的所有取值构成的集合；若不存在．说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近
个月广告投入量
（单位：万元）和收益
（单位：万元）的数据如下表：
月份 |
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广告投入量 |
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收益 |
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他们分别用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
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（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于
的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程
（ⅱ）若广告投入量
时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某城市要建造一个边长为
的正方形市民休闲公园
，将其中的区域
开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点
的坐标为
，曲线
是函数
图像的一部分，过对边
上一点
的区域
内作一次函数
的图像，与线段
交于点
（点不与点重合），且线段
与曲线有且只有一个公共点
，四边形
为绿化风景区.
（1）写出函数关系式
；
（2）设点的横坐标为
，将四边形的面积
表示成关于的函数
，并求的最大值.
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