Question

己知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=1，则方程f（x）+2x²f′（x）=7的解所在的区间为（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由单调函数的性质，可得f（x）-lnx为定值，可以设t=f（x）-lnx，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，可得f（x）的解析式，从而可化简方程，由二分法分析可得函数的零点所在的区间，结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．

解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=1，
即lnt+t=1，
解得，t=1，
则f（x）=lnx+1，f′（x）=

1

x

，
∴f（x）+2x²f′（x）=lnx+2x=7，
即lnx+2x-7=0，
则方程f（x）+2x²f′（x）=7的解可转化成方程lnx+2x-7=0的解，
令h（x）=lnx+2x-7，
而h（2）=ln2-3＜0，h（3）=ln3-1＞0，
∴方程lnx+2x-7=0的解所在区间为（2，3），
∴方程f（x）+2x²f′（x）=7的解所在的区间为（2，3）．
故选C．

点评：本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．