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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为的中点，，.

    （1）求二面角的大小；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】（1）.（2）

    【解析】

    （1）取中点，设相交于，连接，.通过等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理，以及正方形的性质，证得,由此以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（2）利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

    （1）取中点，设相交于，连接，.

    因为，所以.

    又因为平面平面，且平面，所以平面.

    因为平面，所以.

    因为是正方形，所以.

    如图建立空间直角坐标系，则，，，

    ，.

    设平面的法向量为，则，即.

    令，则，.于是.

    平面的法向量为，所以.

    由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

    （2）由题意知，，.

    设直线与平面所成角为，

    则.

    所以直线与平面所成角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    （1）请将下表补充完整，并判断是否有的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？

    成绩优秀

    成绩一般

    总计

    男生

    女生

    总计

    （2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

    参考公式：，其中；

    临界值表供参考：

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    （1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；

    （2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀）

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    （1）指出函数的单调区间；

    （2）若函数的图象在点，处的切线互相平行，求的最小值；

    （3）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围.(只要求写出答案).

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    （2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设，公路的每千米建设成本为万元，公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本，试确定，的位置，使公路的总建设成本最小.

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    【题目】为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：

    年龄

    频数

    10

    20

    30

    20

    10

    10

    支持“新农村建设”

    3

    11

    26

    12

    6

    2

    （1）根据上述统计数据填下面的列联表，并判断是否有的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；

    年龄低于50岁的人数

    年龄不低于50岁的人数

    合计

    支持

    不支持

    合计

    （2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望.

    参考数据：

    0.150

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    参考公式：，其中.

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