Question

【题目】已知函数其中为实数.设，为该函数图象上的两个不同的点.

（1）指出函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点，处的切线互相平行，求的最小值；

（3）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围.(只要求写出答案).

Answer 1

【答案】（1）递增区间为，，的递减区间为.（2）（3）

【解析】

（1）根据二次函数和对数函数单调性即可得到函数的单调区间；（2）根据切线平行可知；根据函数导函数的单调性可知分属两段不同区间；设，则，得到切线斜率，将化为，由基本不等式可求得最小值；（3）由切线重合得到斜率相等，得到，进而得到；根据切线重合，写出切线方程后可知方程相同，得到等式；令，，利用导数可得函数的单调性，从而得到的值域，从而得到的范围.

（1）当时，

在上单调递减；在上单调递增

当时，，在上单调递增

综上所述：的单调递增区间为：，；单调递减区间为：

（2）设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为

在，处的切线互相平行

当时，，在上单调递增

当时，，在上单调递减

不能同时属于，也不能同时属于

不妨设，则 ，

，即：

（当且仅当，即时取等号）

（3）若切线重合，则，由（2）知：

，即

在点处的切线为：

在点处的切线为：

切线重合 切线方程相同，整理可得：

设，，则

时， 在上单调递减

又时，；