Question

【题目】设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若当时恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].

【解析】

(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0

可求的单调区间；

(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.

(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加

(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，

综上可得a的取值范围为(－∞，]．