【题目】设函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若当时
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加;(2) a的取值范围为(-∞,].
【解析】
(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.分别令f′(x)<0,f′(x)>0
可求的单调区间;
(2求导得到)f′(x)=ex-1-2ax.由(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故问题转化为f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而对1-2a的符号进行讨论即可得出结果.
(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加
(2)f′(x)=ex-1-2ax.由(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.由ex>1+x(x≠0)得e-x>1-x(x≠0),从而当a>
时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x∈(0,ln2a)时, f′(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,
综上可得a的取值范围为(-∞,].
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【题目】已知抛物线,
是坐标原点,点
是抛物线上一点(与坐标原点
不重合),圆
是以线段
为直径的圆。
(1)若点坐标为
,求抛物线
方程以及圆
方程;
(2)若,以线段
为直径的圆
与抛物线
交于点
(与点
不重合),求圆
面积
的最小值。
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【题目】已知函数其中
为实数.设
,
为该函数图象上的两个不同的点.
(1)指出函数的单调区间;
(2)若函数的图象在点
,
处的切线互相平行,求
的最小值;
(3)若函数的图象在点
,
处的切线重合,求
的取值范围.(只要求写出答案).
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【题目】为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度,现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人,他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表:
年龄 | ||||||
频数 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新农村建设” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
(1)根据上述统计数据填下面的列联表,并判断是否有
的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异;
年龄低于50岁的人数 | 年龄不低于50岁的人数 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施,中央电视台某节目对此进行了专题报道,并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内),给予适当的奖励.若以频率估计概率,记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为,试求随机变量
的分布列和数学期望.
参考数据:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若与
相交于
两点,求
的面积.
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【题目】已知直线的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】如图,边长为3的等边三角形ABC,E,F分别在边AB,AC上,且,M为BC边的中点,AM交EF于点O,沿EF将
,折到DEF的位置,使
.
(1)证明平面EFCB;
(2)试在BC边上确定一点N,使平面DOC,并求
的值.
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【题目】设椭圆方程(
),
,
是椭圆的左右焦点,以
,
及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为
的正三角形.
(1)求椭圆方程;
(2)过分别作直线
,
,且
,设
与椭圆交于
,
两点,
与椭圆交于
,
两点,求四边形
面积的最小值.
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